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「掛け算」のメンタルモデルができるまで
»2011年12月25日
開米のリアリスト思考室
「掛け算」のメンタルモデルができるまで
社会人の文書化能力の向上をテーマとして企業研修を行っています。複雑な情報からカギとなる構造を見抜いてわかりやすく表現するプロフェッショナル。
当ブログ「開米のリアリスト思考室」は、2015年4月6日から新しいURL「http://blogs.itmedia.co.jp/kaimai_mizuhiro/」 に移動しました。引き続きご愛読ください。
前号までで、「かけ算の教え方」の一例を書きました。
そこで、鉛筆をタテヨコに並べて長方形を作ったチャートが便利ですよという話をして、じゃあ次はそれを「わり算」に展開する話を書こうか、・・・・と思ったところでその前に書いておくべきことがあるのに気がつきました。
というわけで、「かけ算」のメンタルモデルがどう形成されていくかをまとめておきます。
（メンタルモデルの用語については改めて説明しません。リンク先はwikipediaです。あまり分かりやすくありませんが）
まずは下記のチャートをご覧ください。
↑このチャートは、「かけ算」に関する理解がどう形成されていくかを簡略化してまとめたものです。
左半分の「構造可視化モデル」というのは、見てのとおり「Ａ×Ｂ＝Ｃ」という構造を子供が見てわかる形で図（イメージ）にしたものです。（*1 赤枠青枠の書き方について文末に追記あり）
さらに、このイメージを元にして、子供が獲得していくべき認知がＲ１からＲ５まであります。
Ｒ１は、「こんな構造を持つ事象があるんだ」 という認知。この段階では、「Ａ×Ｂ」といった「かけ算」への意識は不要です。こういうカタチがあるんだな、となんとなく思ってくれればいい。
その認知ができると、ＡＢＣの関係を意識できるようになります。次のステップＲ２では、違う状況でもＡとＢの数字が変わってなければＣも変わらず同じになる、ＣはＡとＢから求めることができる、という認知を得てくれればいい。そこで使うのが「かけ算」であるという認知はまだ必要ありません。
さて、次のＲ３が「かけ算」の認知で、ＡとＢからＣを求める計算を「かけ算」ということ、Ａ×Ｂで表すこと、などを知る必要があります。
そしてＲ４でかけ算の交換法則、Ｒ５で九九の必要性、とそれぞれ認知が進展していって欲しいわけです。
おおまかに言ってＲ１→Ｒ５の順番に、それぞれの認知項目には依存性があります。Ｒ２はＲ１に依存し、Ｒ３はＲ２に依存しています。が、厳密なものではなく、たとえばＲ４とＲ５の認知が逆順になることは十分ありえます。
しかし、Ｒ１→Ｒ３の範囲はほぼこの順以外ありえません。
あらためて書くと、
Ｒ１をぼんやりと認知すると
Ｒ２でその細部（ＡＢＣ）に目が向けられるようになり、
Ｒ３で計算オペレーションを学べるようになります。
問題はここから先。
人が何かを学習する場合、Ｒ１・Ｒ２の認知があいまいなままでＲ３のみ覚えてしまう、という落とし穴にハマる場合が少なくないんですね。というのは、Ｒ１やＲ２は抽象度が高いしあくまでも本人の脳内理解の問題なので、外からその認知が出来ているかどうかをチェックすることが難しいのに対して、Ｒ３は「計算」という外部から観察可能な具体的なオペレーションです。極端な話、Ｒ３については
言われたとおりやりなさい！
とやり方を指示して子供をロボットのように動かし反復動作をさせる、という指導がある程度成り立ってしまうわけですよ。この方法はＲ１、２については無理です。そのため、中には
Ｒ１、Ｒ２の認知強化の手立てを打たないまま、
Ｒ３以降のオペレーションだけ指導する先生
が存在します。こういう先生に習うと、計算問題は出来ても文章題では壊滅的成績になってしまう子供が続出します。
実は、理想的なのはＲ１～Ｒ３の認知が次のような形で進むことです。
Ｒ１、Ｒ２については最初のうちは「あれ？ ひょっとしてそう・・なのかな？」程度でいいんです。乏しい理解のままでもいいのでとにかくＲ３にたどり着いて、具体的なオペレーションを繰り返し練習します。
すると、その経験がＲ１・Ｒ２へフィードバックされて理解が進み、
「あ、そうか、そういうことだったんだ！！」
と、第５段階になってやっとＲ１やＲ２の意味をはっきり自覚できる。まあこんな流れになるのが普通です。
ただ、これが成り立つためには、
Ｒ３を始める前に、Ｒ１・２に少しだけでも触れさせておく
Ｒ３の反復練習が、Ｒ１・２にフィードバックされるように手を打つ
必要があります。それがないと、Ｒ３だけ肥大して、何度も書きますが
計算問題は出来ても文章題で討ち死にする子供
が続出しますので。
さてそれではＲ１・２をどうやって教えたら良いのか、とういことですが、ここで難題が１つあります。それは、特にＲ１については
言葉で説明するのが難しく、抽象度が高い
ということです。
Ｒ１：世の中には、こんな構造を持つ事象がある
の「こんな」の部分を言葉で説明するのが難しいんですね。（そのため、それを省略してＲ３ばっかりやらせる先生が後を絶ちません）
だから、「構造可視化モデル」が大事になります。
「こんな構造」を「見て取れる」、可視化したチャートです。
「かけ算」がテーマの場合は、既に書いたとおり、長方形といくつかの空欄があればいい。
実は「わり算」の場合も同じモデルでいけます（ここも当然の話）。
こういった、「言葉で説明しなくても、構造的特徴が見てわかる」チャートを使い、それを出発点にしてＲ１→Ｒ５の認知の旅を始めるようにすれば、教えるほうも学ぶほうも非常に楽になります。
「かけ算」を子供に教えるときに最初に必要なのは、こういう長方形の構造可視化モデルであって、「かける数」「かけられる数」のような概念ではありません。
「かけ算には順序がある」という主張は、完全に間違っています。
(*1 12/25 追記） 「構造可視化モデル」欄の、長方形型に要素を並べたものを算数教育界では「アレイ図」と呼びます。そしてこのアレイ図を使う場合、今回の例示の赤枠、青枠部分のような囲い方をすると「誤解を招く可能性が高い」と言われているそうです。
代案は「タテに4つずつ区切る図と、ヨコに３つずつ区切る図を別に提示する」というもの。確かにそのほうが誤解されにくいでしょう。
そこで、鉛筆をタテヨコに並べて長方形を作ったチャートが便利ですよという話をして、じゃあ次はそれを「わり算」に展開する話を書こうか、・・・・と思ったところでその前に書いておくべきことがあるのに気がつきました。
というわけで、「かけ算」のメンタルモデルがどう形成されていくかをまとめておきます。
（メンタルモデルの用語については改めて説明しません。リンク先はwikipediaです。あまり分かりやすくありませんが）
まずは下記のチャートをご覧ください。
↑このチャートは、「かけ算」に関する理解がどう形成されていくかを簡略化してまとめたものです。
左半分の「構造可視化モデル」というのは、見てのとおり「Ａ×Ｂ＝Ｃ」という構造を子供が見てわかる形で図（イメージ）にしたものです。（*1 赤枠青枠の書き方について文末に追記あり）
さらに、このイメージを元にして、子供が獲得していくべき認知がＲ１からＲ５まであります。
Ｒ１は、「こんな構造を持つ事象があるんだ」 という認知。この段階では、「Ａ×Ｂ」といった「かけ算」への意識は不要です。こういうカタチがあるんだな、となんとなく思ってくれればいい。
その認知ができると、ＡＢＣの関係を意識できるようになります。次のステップＲ２では、違う状況でもＡとＢの数字が変わってなければＣも変わらず同じになる、ＣはＡとＢから求めることができる、という認知を得てくれればいい。そこで使うのが「かけ算」であるという認知はまだ必要ありません。
さて、次のＲ３が「かけ算」の認知で、ＡとＢからＣを求める計算を「かけ算」ということ、Ａ×Ｂで表すこと、などを知る必要があります。
そしてＲ４でかけ算の交換法則、Ｒ５で九九の必要性、とそれぞれ認知が進展していって欲しいわけです。
おおまかに言ってＲ１→Ｒ５の順番に、それぞれの認知項目には依存性があります。Ｒ２はＲ１に依存し、Ｒ３はＲ２に依存しています。が、厳密なものではなく、たとえばＲ４とＲ５の認知が逆順になることは十分ありえます。
しかし、Ｒ１→Ｒ３の範囲はほぼこの順以外ありえません。
あらためて書くと、
Ｒ１をぼんやりと認知すると
Ｒ２でその細部（ＡＢＣ）に目が向けられるようになり、
Ｒ３で計算オペレーションを学べるようになります。
問題はここから先。
人が何かを学習する場合、Ｒ１・Ｒ２の認知があいまいなままでＲ３のみ覚えてしまう、という落とし穴にハマる場合が少なくないんですね。というのは、Ｒ１やＲ２は抽象度が高いしあくまでも本人の脳内理解の問題なので、外からその認知が出来ているかどうかをチェックすることが難しいのに対して、Ｒ３は「計算」という外部から観察可能な具体的なオペレーションです。極端な話、Ｒ３については
言われたとおりやりなさい！
とやり方を指示して子供をロボットのように動かし反復動作をさせる、という指導がある程度成り立ってしまうわけですよ。この方法はＲ１、２については無理です。そのため、中には
Ｒ１、Ｒ２の認知強化の手立てを打たないまま、
Ｒ３以降のオペレーションだけ指導する先生
が存在します。こういう先生に習うと、計算問題は出来ても文章題では壊滅的成績になってしまう子供が続出します。
実は、理想的なのはＲ１～Ｒ３の認知が次のような形で進むことです。
Ｒ１、Ｒ２については最初のうちは「あれ？ ひょっとしてそう・・なのかな？」程度でいいんです。乏しい理解のままでもいいのでとにかくＲ３にたどり着いて、具体的なオペレーションを繰り返し練習します。
すると、その経験がＲ１・Ｒ２へフィードバックされて理解が進み、
「あ、そうか、そういうことだったんだ！！」
と、第５段階になってやっとＲ１やＲ２の意味をはっきり自覚できる。まあこんな流れになるのが普通です。
ただ、これが成り立つためには、
Ｒ３を始める前に、Ｒ１・２に少しだけでも触れさせておく
Ｒ３の反復練習が、Ｒ１・２にフィードバックされるように手を打つ
必要があります。それがないと、Ｒ３だけ肥大して、何度も書きますが
計算問題は出来ても文章題で討ち死にする子供
が続出しますので。
さてそれではＲ１・２をどうやって教えたら良いのか、とういことですが、ここで難題が１つあります。それは、特にＲ１については
言葉で説明するのが難しく、抽象度が高い
ということです。
Ｒ１：世の中には、こんな構造を持つ事象がある
の「こんな」の部分を言葉で説明するのが難しいんですね。（そのため、それを省略してＲ３ばっかりやらせる先生が後を絶ちません）
だから、「構造可視化モデル」が大事になります。
「こんな構造」を「見て取れる」、可視化したチャートです。
「かけ算」がテーマの場合は、既に書いたとおり、長方形といくつかの空欄があればいい。
実は「わり算」の場合も同じモデルでいけます（ここも当然の話）。
こういった、「言葉で説明しなくても、構造的特徴が見てわかる」チャートを使い、それを出発点にしてＲ１→Ｒ５の認知の旅を始めるようにすれば、教えるほうも学ぶほうも非常に楽になります。
「かけ算」を子供に教えるときに最初に必要なのは、こういう長方形の構造可視化モデルであって、「かける数」「かけられる数」のような概念ではありません。
「かけ算には順序がある」という主張は、完全に間違っています。
(*1 12/25 追記） 「構造可視化モデル」欄の、長方形型に要素を並べたものを算数教育界では「アレイ図」と呼びます。そしてこのアレイ図を使う場合、今回の例示の赤枠、青枠部分のような囲い方をすると「誤解を招く可能性が高い」と言われているそうです。
代案は「タテに4つずつ区切る図と、ヨコに３つずつ区切る図を別に提示する」というもの。確かにそのほうが誤解されにくいでしょう。
